c. Persamaan Schrödinger

Fisikawan Austria Erwin Schrödinger (1887-1961) mengusulkan ide bahwa persamaan De Broglie dapat diterapkan tidak hanya untuk gerakan bebas partikel, tetapi juga pada gerakan yang terikat seperti elektron dalam atom. Dengan memperluas ide ini, ia merumuskan sistem mekanika gelombang. Pada saat yang sama Heisenberg mengembangkan sistem mekanika matriks. Kemudian hari, kedua sistem ini disatukan dalam mekanika kuantum.

Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem dideskripsikan dengan fungsi gelombang. Schrödinger mendasarkan teorinya pada ide bahwa energi total sistem, E (penyelesaian persamaan Schrödinger (energi) disebut dengan nilai Eigen (Eigen = kata dari bahasa Jerman yang bermakna “memiliki”)) dapat diperkirakan dengan menyelesaikan persamaan. Karena persamaan ini memiliki kemiripan dengan persamaan yang mengungkapkan gelombang di fisika klasik, maka persamaan ini disebut dengan persamaan gelombang Schrödinger.

Persamaan gelombang partikel (misalnya elektron) yang bergerak dalam satu arah (misalnya arah x) diberikan oleh:

(-h²/8π²m)(d²Ψ/dx²) + VΨ = EΨ                                (2.14)

m adalah massa elektron, V adalah energi potensial sistem sebagai fungsi koordinat, dan Ψ adalah fungsi gelombang.

POTENSIAL KOTAK SATU DIMENSI (SUB BAB INI DI LUAR KONTEKS KULIAH KITA )

Contoh paling sederhana persamaan Schrödinger adalah sistem satu elektron dalam potensial kotak satu dimensi. Misalkan enegi potensial V elektron yang terjebak dalam kotak (panjangnya a) adalah 0 dalam kotak (0 < x < a) dan ∞ di luar kotak. Persamaan Schrödinger di dalam kotak menjadi:

d²Ψ/dx² = (-8π²mE/h²)Ψ                               (2.15)

Ψ= 0 di x = 0 dan x = a                                    (2.16)

Persamaan berikut akan didapatkan sebagai penyelesaian persamaan-persamaan di atas:

Ψ(x) = (√2/a)sin(nπx/a)                                                (2.17)

Catat bahwa n muncul secara otomatis. Persamaan gelombang Ψ sendiri tidak memiliki makna fisik. Kuadrat nilai absolut Ψ, Ψ², merupakan indikasi matematis kebolehjadian menemukan elektron dalam posisi tertentu, dan dengan demikian sangat penting sebab nilai ini berhubungan dengan kerapatan elektron. Bila kebolehjadian menemukan elektron pada posisi tertentu diintegrasikan di seluruh ruang aktif, hasilnya harus bernilai satu, atau secara metematis:

∫Ψ²dx = 1

Energinya (nilai eigennya) adalah

E = n²h²/8ma² ; n = 1, 2, 3...                          (2.18)

Jelas bahwa nilai energi partikel diskontinyu.

ATOM MIRIP HIDROGEN

Dimungkinkan untuk memperluas metoda yang digunakan dalam potensial kotak satu dimensi ini untuk menangani atom hidrogen dan atom mirip hidrogen secara umum. Untuk keperluan ini persamaan satu dimensi (2.14) harus diperluas menjadi persamaan tiga dimensi sebagai berikut:

(-h²/8π²m)Ψ［(∂²/∂x²) + (∂²/∂y²) +(∂²/∂z²) + V(x, y, z)Ψ = EΨ                  (2.19)

Bila didefinisikan ∇² sebagai:

(∂²/∂x²) + (∂²/∂y²) +(∂²/∂z²) = ∇²              (2.20)

Maka persamaan Schrödinger tiga dimensi akan menjadi:

(-h²/8π²m)∇²Ψ +VΨ = EΨ                             (2.21)

Atau

∇²Ψ +(8π²m/h²)(E -V)Ψ = 0                          (2.22)

Energi potensial atom mirip hidrogen diberikan oleh persamaan berikut dengan Z adalah muatan listrik.

V = -Ze²/4πε₀r                   (2.23)

Bila kita substitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), kita akan mendapatkan persamaan berikut.

∇²Ψ+(8π²m/h²)［E + (Ze²/4πε₀r)］Ψ = 0              (2.24)

Ringkasnya, penyelesaian persamaan ini untuk energi atom mirip hidrogen cocok dengan yang didapatkan dari teori Bohr.

BILANGAN KUANTUM

Karena elektron bergerak dalam tiga dimensi, tiga jenis bilangan kuantum (Bab 2.3(b)), bilangan kuantum utama, azimut, dan magnetik diperlukan untuk mengungkapkan fungsi gelombang. Dalam Tabel 2.3, notasi dan nilai-nilai yang diizinkan untuk masing-masing bilangan kuantum dirangkumkan. Bilangan kuantum ke-empat, bilangan kuantum magnetik spin berkaitan dengan momentum sudut elektron yang disebabkan oleh gerak spinnya yang terkuantisasi. Komponen aksial momentum sudut yang diizinkan hanya dua nilai, +1/2(h/2π) dan -1/2(h/2π). Bilangan kuantum magnetik spin berkaitan dengan nilai ini (ms = +1/2 atau -1/2). Hanya bilangan kuantum spin sajalah yang nilainya tidak bulat.

Tabel 2.3 Bilangan Kuantum

Nama (bilangan kuantum)	Simbol	Nilai yang diizinkan
Utama	n	1, 2, 3,...
Azimut	l	0, 1, 2, 3, ...n – 1
Magnetik	m(ml)	-l, ...,-1, 0, +1, +2,...±l
Magnetik spin	ms	+1/2, -1/2

Simbol lain seperti yang diberikan di Tabel 2.4 justru yang umumnya digunakan. Energi atom hidrogen atau atom mirip hidrogen ditentukan hanya oleh bilangan kuantum utama dan persamaan yang mengungkapkan energinya identik dengan yang telah diturunkan dari teori Bohr.

Tabel 2.4 Bilangan Kuantum Azimuth

Nilai l	0	1	2	3	4
simbol	s	p	d	f	G